Powyższa strona może zawierać treści erotyczne, wulgarne lub obraźliwe, przeznaczone wyłącznie dla osób pełnoletnich.
Czy jesteś osobą pełnoletnią i chcesz świadomie i dobrowolnie zapoznać się z treścią powyższej strony?
- wybór tej opcji spowoduje opuszczenie strony.
- wybór tej opcji spowoduje przejście do strony i kolejne ostrzeżenia w wypadku podobnych stron.
- wybór tej opcji spowoduje zapamiętanie Twojej zgody dla innych stron i nie będziesz otrzymywać tego ostrzeżenia.
kontynuacja kontynuacji :) BAWCISIE DOBRZE!!!
Piątek AD 2025.05.23 h:15.57
Obudzilem sie dziś o h:04.30 p oczym znów poszedlem spać i tak spalem aż do h:07.04
Teraz jest h:15.59 a ja słucham Abbà Pater Papa Ioannes Paulus II 1999 i tak sobie myżlę o Czlowieku jako o Bogu!!! Bo czye jest możliwe ażeby Czlowiek zbliżyłby sie do UŚWIĘCENIA tak WIELKIEGO iż przez INNYCH Obserwowany byłby Jako Najwiekszy STWORZYCIEL!!!
Po latach życia {dziś właśnie wypadają moje 51 urodziny}7
Poniedziałek AD 2025.05.19 h:07.13
Zapuściłem sobie właśnie Frankie Goes To Hollywood - The Power Of Love na dobe rozpoczęcie Dnia!!! Aż mnie ciarki przechodzą!!!
A po tym kawałku leci peja składanka, na którą składają się numery:
001. Peja/Slums Attack - Wchodzę na raz (Can You Feel the Vibe) feat. Hellfield
002. RPS - Tylko PEJA [PARIAS DISS]
003. Peja/Slums Attack - Reprezentuję biedę
004. Peja/Slums Attack - Szacunek Ludzi Ulicy
005. Slums Attack feat. O.S.T.R. & Jeru the Damaja - Oddałbym (prod. DJ. Decks)
006. Slums Attack - Evergreen (prod. DJ. Decks)
007. Lukasyno ft. Peja, Kali - Rynsztok
008. RPS feat. Glaca & Ana Herrero - Pozwól mi żyć (Są chwile) prod. DJ. Zel
009. RPS feat PiH - Zbyt dużo bólu (prod. DJ. Zel)
010. (Peja) RPS/WHR - Trudny dzieciak 2 (official video)
011. Slums Attack - HSMTO (prod. DJ. Decks)
012. Peja/Slums Attack - Właściwy wybór/Randori (prod. DJ. Decks, Peja)
013. (Peja) Slums Attack - Kto ma renomę (prod. DJ. Decks)
014. Peja/Slums Attack - SLU 3 Litery/Duchowo mocny (prod. DJ. Decks, Waco, Magiera)
015. RPS feat. Czwórka - Regulamin zabijania (prod. Młody PSZ)
016. RPS - Bragga (prod. Brahu)
017. Slums Attack - depeche_mood (prod. DJ. Decks)
018. Slums Attack - Video Promo Mix (depeche_mood)
019. Slums Attack - Ryzyko (prod. DJ. Decks)
020. Slums Attack - Nie trać ducha walki (prod. DJ. Decks)
021. Slums Attack - Matka Ziemia ft. Bas Tajpan
022. DIWAJDEK Ft Dejv Kawiarnia Słowa ( W Następny Czwartek EP ) Rap Generation
023. Slums Attack - Brudna Flota (prod. DJ. Decks)
024. Slums Attack - Basement jak '94 (prod. DJ. Decks)
025. Slums Attack - Na Zachodzie bez zmian (prod. DJ. Decks)
026. DIWAJDEK AK47 ft. Żurek Ziaro Daniu / / Wersja Demonstracyjna EP / /
027. Slums Attack - Na swoje (prod. DJ. Decks)
028. Slums Attack - Zwykły chłopak ft. Kobra
029. DIWAJDEK To MANIAK ( RapManiak LP ) intro
030. Slums Attack - Gra bez reguł (prod. DJ. Decks)
031. Slums Attack - Z godnością (prod. DJ. Decks)
032. DIWAJDEK - Będzie Tłusto FAGATA DISS ( W Następny Marzec 2026 ) feat Quebo ??? 2025 freestyle
033. Slums Attack - Zrodzony z chaosu (prod. DJ. Decks)
034. Slums Attack - Rap News ft. Soulard
035. Slums Attack - Poznański Loco (Rrmix Drill)
036. Slums Attack - Droga mistrza 2 (BONUS TRACK)
037. Slums Attack - WLZT (wersja niepełna) prod. Peja
038. Slums Attack - I nim zdarzy się cud... (prod. Peja)
039. Slums Attack - Taką dolinę... (prod. Peja)
040. Slums Attack - Zachodnia Część Polski (do pary pan Piotr) prod. Peja
041. Slums Attack - Zachodnia Część Polski (do pary pan Piotr) prod. Peja
042. Slums Attack - Coś niedokończone (Luta mix) prod. Peja
043. Slums Attack - Żyje tym co mam (prod. Peja)
045. Slums Attack - Postawy (wersja ulepszona) prod. Peja
046. Slums Attack - Prawdziwe czy nie? (Old School remix) prod. Peja
047. Slums Attack - Musisz uwierzyć (unda versja) prod. Peja
048. Slums Attack - Kontrowersja (prod. Peja)
049. Slums Attack - Dlaczego? (prod. Peja)
050. Slums Attack - Zawsze będzie takie granie (Kana mix)
051. Slums Attack - Tak ma być (westernowa wersja '98) feat. Da Blaze, Anymaniakh
052. Slums Attack - Wstęp (prod. Peja)
053. Slums Attack - Dlaczego? (prod. Peja, DJ. Decks)
054. Slums Attack - I nim zdarzy się cud (prod. Peja)
055. Slums Attack - Zachodnia Częsć Polski
056. Slums Attack - Żyję tym co mam (Prod. Peja)
057. Slums Attack - W.L.Z.T.F.K.P.T (prod. Peja)
058. Peja-Tak ma być (Lutawhuiklik) ft. Madman, Mientha, Senne Oko, Lamzaz
059. Slums Attack - Prawdziwe czy nie? (prod. Peja, DJ. Decks)
060. Slums Attack - I stąd światło
061. Slums Attack - Coś niedokończone feat. Da Blaze (prod. Peja, DJ. Decks)
062. Slums Attack - Taką dolinę... (prod. Peja, DJ. Decks)
063. Slums Attack - Postawy (prod. Peja)
064. Slums Attack - Zawsze będzie takie granie (prod. Peja, DJ. Decks)
065. Slums Attack - Kontrowersja (prod. Peja)
066. Slums Attack - Musisz uwierzyć (prod. Peja)
067. Slums Attack - Zakończenie (prod Peja, DJ. Decks)
068. Slums Attack - Bez komentarza
069. Slums Attack - I nie zmienia sie nic... (prod. Peja)Kur..a cóż za kawałek - klkadzisiąt słów a JAKIE ZNACZENIE!!! SZACUN PEJA...FOREVER
070. Slums Attack - Pojawiam się i znikam
071. Slums Attack - Kto?!
072. Peja/Slums Attack - Z miastem w mieście (prod. Doniu)
073. Slums Attack - Wspólne zadanie feat. Wiśniowy & Grucha
074. Slums Attack - Dotknij gdzie chcesz feat. Lamzaz (prod. Peja)
075. Slums Attack - Nasze znajomości feat. WSZ & CNE (prod. Peja)
076. Slums Attack - Widziały swoje feat. Lutawhuiklik & Wiśniowy
077. Slums Attack - Widziały swoje feat. Lutawhuiklik & Wiśniowy
078. Slums Attack - Czujesz to? (prod. Peja, DJ. Decks)
079. Slums Attack - Pamiętam... Nie zapomnę feat. Aifam Klika (prod. Peja)
080. Slums Attack - Nie przegram mego życia (prod. Peja)
081. Slums Attack - Tyle zobowiązań... (prod Peja)
082. Slums Attack - Zawsze odbić się od dna (Trzeba radę dać) feat Lamzaz (prod. DJ. Decks, Peja)
083. Slums Attack - W oparciu o prawdę (prod. Peja)
084. Slums Attack - Pojawiam się i znikam (Magiera RMX)
085. Peja/Slums Attack - Popierdoleni bo robią HH
086. Peja/Slums Attack - Geneza (prod. Doniu)
087. Peja/Slums Attack - Wstecz (Staszica Story 3) prod. Tabb kurcze blade jakie bity!!! Łeb kawalek urywa!!!
088. Peja/Slums Attack - Kurewskie życie (prod. Tabb)
089. Peja/Slums Attack - Reprezentuję biedę (prod. DJ. Decks)
090. Peja/Slums Attack - PRL (Peja, rap i ludzie) prod. DJ. Decks, Waco
091. Peja/Slums Attack - Co Cię boli ?! (prod. Tabb)
092. Peja Slums/Attack - Brudne myśli (prod. DJ. Decks)
093. Peja/Slums Attack - Depresja rappera (Kolejny szalony dzień) prod. Magiera
094. Peja/Slums Attack - Moralny upadek (prod. Magiera)
095. Peja/Slums Attack - Doskonały przykład (218) prod. DJ. Decks
096. Peja/Slums Attack - Prawdziwy rapper kłamca (Decks remix)
097. Peja/Slums Attack - Boją sie nas... (prod. Peja)
098. Peja/Slums Attack feat. Sweet Noise - Wciąż
099. Peja/Slums Attack - Ona i On (prod. Magiera)
100. Peja/Slums Attack - Robię lans (prod. Doniu)
101. Peja/Slums Attack feat. Sweet Noise - Ile jeszcze?! (prod. Sweet Noise)
102. Peja/Slums Attack feat. DJ. Zel - Dziś w klubie (prod. DJ. Zel)
103. Peja/Slums Attack - Fturując (prod. Magiera)
104. Peja/Slums Attack feat. Trishja - K.O. CHAM (prod. ST0ne)
105. Peja/Slums Attack feat. Hemp Gru & Wiśniowy - Niech nie zdarzy Ci się (prod. Peja)
106. Peja/Slums Attack - Prawdziwy rapper kłamca (Propaganda wersja)
107. Peja/Slums Attack - Byś mnie nigdy więcej nie zapytał... (prod. DJ. Decks)
108. DJ. Zel feat. Peja/Slums Attack - Każdego dnia (prod. DJ. Zel)
109. Ski Skład - Klasyczna fuzja (Remix Magiera)
110. Medi Top Glon feat. Peja /Slums Attack - Wieżowiec (prod. Magiera)
111 Magiera & LA feat. Peja - Mnie to nie zachwyca
112. Włodi feat. Peja/Slums Attack - Odrzucili opcje (prod. Waco)
113. Ski Skład - No co by było gdyby (Szuja Remix)
114. Analogia feat. Peja, Sokół, Fu, DJ. Deszczu Strugi - Byłem pewien
115. DJ. Decks feat. Peja, Da Blaze & Iceman - Cały ten rap
116. Trzeci Wymiar feat. Peja/Slums Attack - Pogoda dla bogaczy
117. Peja/Slums Attack feat. Trishja & St0ne - KO. CHAM
118. Sweet Noise feat. Peja/Slums Attack - Jeden taki dzień
119. Gramy i Mikrofony feat. Peja & Rymiarz - Wandal (prod. DJ. Zel)
120. Ski Skład feat. Fu - Dzień zagłady (PMX RMX)
121. Wojtas (WYP 3) feat. Peja/Slums Attack - Zło
122. Ski Skład feat. WNB - Na co nas stać
123. Peja/Slums Attack - Szacunek ludzi ulicy (prod. DJ. Decks, Waco)
124. Peja/Slums Attack - Kłopotliwy Zero Piąty (prod. DJ. Decks, Magiera)
125. Peja/Slums Attack - Styl życia gnoja (prod. LA, DJ. Decks)
126. Peja/Slums Attack - SLU 3 litery (prod. DJ. Decks, Waco)
127. Peja/Slums Attack - Duchowo mocny (prod. DJ. Decks, Magiera)
128. Peja/Slums Attack feat. DJ. Zel & Layla - Temat za tematem (prod. DJ. Zel)
129. Peja/Slums Attack - Prawda zwycięży (prod. DJ. Decks, Magiera)
130. Peja/Slums Attack - Sex dragi rap (prod. Sqra)
131. Peja/Slums Attack - No i co (prod. DJ. Zel)
132. Peja/Slums Attack - Tak się bawi SLU (prod. Sqra)
133. Peja/Slums Attack - IV RP (Bo to Polska) prod. DJ. Story
134. Peja/Slums Attack - Hip Hop Honeys (prod. Sqra)
135. Peja/Slums Attack - Potrzebuję go (prod. DJ. Decks, Magiera)
136. Peja/Slums Attack - In Flagranti (prod. DJ. Decks, Magiera)
137. Peja/Slums Attack - Odpał (prod. Sqra)
138. Peja/Slums Attack - Uliczna sława (prod. Tabb)
139. Peja/Slums Attack - Panie (prod. DJ. Decks, Magiera)
140. Peja/Slums Attack - Już do końca tak być musi (prod. Sqra)
141. Peja/Slums Attack - Dopóki jestem w grze (prod. Sqra)
142. Peja/Slums Attack - Szacunek ludzi ulicy (4EST RMX)
143. RPS - SŻG Intro (prod. Magiera)
144. RPS - Bragga (prod. Brahu)
145. RPS - Muza trzyma mnie przy życiu (prod. Zelo)
146. RPS - Definicja Pener (prod. Sqra)
147. RPS feat. Sandra - To Pe do En (Jestem stąd) prod. DJ. Story
148. RPS (Peja) - Na dnie (prod. Sqra)
149. RPS - Rap moją kokainą (prod. Sqra)
150. RPS - Moralniak (prod. Magiera)
151. RPS feat. Czwórka - Regulamin zabijania (prod. Młody PSZ)
152. RPS feat. Sandra - Ta chwila
153. RPS - Zmieni się na lepsze (prod. Magiera)
154. RPS feat. RDW & Brahu - Ja !@#$%^&* (prod. Brahu)
155. RPS (Peja) - Getto (Stylowe rymy) prod. Magiera
156. RPS - Staszica Story Czwórka (prod. Magiera)
157. RPS feat. Charlie P - Tak bardzo chcę (prod. DJ. Decks, Magiera)
158. RPS - Dziś wyjdziesz ze mną (prod. LA)
159. RPS feat. PTP - (Z)robię szmal (prod. Zelo)
160. RPS - De najsłodsza w mieście (prod. Vixen)
161. RPS - All Inclusive (prod. Sqra & Pablo B)
162. RPS - Definicja pener (Remix Czwórka)
163. RPS feat. Biguś - Gruba Impra z Rysiem
164. RPS - Na powierzchni (prod. White House)
165. RPS feat. K8 & DJ. Zel - Szczęście (prod. DJ. Zel)
166. RPS feat. Wozik "Byłem jestem będę" (prod. White House)
167. RPS feat. DJ. Decks - Na serio (prod. White House)
168. RPS - HIP HOP (prod. White House)
169. RPS feat. Gandzior & Kobra - Gruba Impra z Rysiem 2 (prod. DJ. Zel)
170. RPS feat. Marek Pospieszalski - Kochana mamo (prod. White House)
171. RPS - Peneriada (prod. White House)
172. RPS feat. Chada - Obudź się (Pod prąd 2) prod. White House
173. RPS feat. Paluch - To jeszcze nie koniec (prod. DNA)
174. RPS feat. Kaczor - Śmiertelna pasja rap (prod. White House)
175. RPS feat. Mrozu - Poszukując ideału (prod. White House)
176. RPS feat. Vixen - To co robimy (prod. Vixen)
177. RPS feat. Glaca & Ana Herrero - Pozwól mi żyć (Są chwile) prod. DJ. Zel
178. RPS feat. Brahu & Shellerini - Mamy ten flow (prod. Brahu)
179. RPS - Pokonując granice (prod. White House)
180. RPS - KC (prod. DNA)
181. RPS feat PiH - Zbyt dużo bólu (prod. DJ. Zel)
182. RPS feat. Paluch - To jeszcze nie koniec (DNA remix)
183. RPS - Epilog (prod. White House)
184. Peja - Przemineło z wiatrem
186. Peja - DTKJ (Dlaczego Tede kurwą jest)
187. Peja - Czas hardcoru
188. Peja - Mam beke
189. Peja - Duren z TVN
190. Peja - Ludzie z mej rzeczywistosci
191. PEJA vs „HIP HOP
192. Peja - Powiedz jakie to uczucie
193. Peja - Wszystko na moj koszt
195. Peja - TDF (The Dick Fucker)
196. Peja Gruby pojazd z Tede 3
197. Peja - Wrogu moj
198. Peja - Powiedz jakie to uczucie 2
199. RPS - Dissulfiran
200. 1.Slums Attack - RE- Intro
202. Slums Attack - Reedukacja
203. Slums Attack - Dzieci Gorszego Boga
204. Slums Attack - Rap dla kobiet
205. Slums Attack - Rolling Stone
206. Slums Attack feat. Paluch - Chcesz?
207. Slums Attack feat. Kali - Rehab
208. Slums Attack feat. RY23, Paluch, Śliwa, Kubiszew, Kobra, Gandzior, Medi Top - Głos Wielkopolski
209. Slums Attack - Kto ma renomę
210. Slums Attack - HSMTO
211. Slums Attack feat. O.S.T.R. & Jeru the Damaja - Oddałbym
212. Slums Attack feat. K8 - Nietakt
213. Slums Attack - Jeżycka klasyka
215. Slums Attack - Życie jest hajem
216. Slums Attack - Subliminale (To nie prawda)
217. Slums Attack - PS. (Phil Spector)
218. Slums Attack - Piętnastak
219. Slums Attack - Poznańczyk
220. RPS/WHR "Know How"
221. RPS/WHR - Prawdziwy Rap Rozpierdol feat. DJ. Danek
222. RPS/WHR feat. Hellfield S.A. (Steven Adler)
223. RPS/WHR - Defekt Mózgu (official video)
224. RPS/WHR - Back in the Days feat. Kroolik Underwood & DJ. Danek
225. RPS/WHR "Nadmiar"
226. RPS/WHR "Big Picture" feat. Śliwa & DJ. Danek
227. RPS/WHR "No Future" (Rock On)
228. RPS/WHR "Być i mieć" feat. Dono & DJ. Ace
229. RPS/WHR "Codzienne refleksje" feat. Marek Dyjak
231. RPS/WHR "Full Time Job" ft. JacktheRipper,RDW,De2s,Toony,Azyl,JerutheDamaja,Gandzior,Greckoe,Śliwa
232. RPS/WHR "Martwa Muzyka" feat. Bezczel & Glaca
233. RPS/WHR "Nie oglądam się"
234. RPS/WHR "No Surrender" feat. AZ & DJ. Decks
235. RPS/WHR "Braggabałagan" (wersja płytowa)
236. RPS/WHR - Braggabałagan (RAW)
237. RPS/WHR "Raplajf"
238. (Peja) RPS/WHR - Trudny dzieciak 2 (official video)
239. RPS/WHR - Raplajf/RPS Klasyka (official video)
240. Popek w Chicago Koncert w Portage Theater
241. RPS - Peja vs. "HIP HOP" (prod. DNA)
242. RPS - Człowiek który podzielił hip hop
243. RPS feat. Marek Pospieszalski - Kochana mamo
244. RPS - HIP HOP (prod. White House)
245. Drugastrefa "Siła to jedność" ft. Aifam,WSRH,FsDan,Kobra,Koni,Saja,Perez,Dj Taek
247. RPS feat. Glaca & Ana Herrero - Pozwól mi żyć (Są chwile) prod. DJ. Zel
248. ski & skład - być nie mieć 2
249. Rychu Peja gościnnie cz. 1 (2002-2003)
250. Rychu Peja gościnnie cz. 2 (2004-2005)
251. Peja/Slums Attack "Sprzedajny" (Uncut Raw version) 2003
252. Ski Skład "To dla mnie oczywiste" (prod. Peja)
253. Peja - Lech Poznań
254. Peja/Slums Attack - Wstecz (Staszica Story 3) prod. Tabb
255.
256.
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.
288.
289.
290.
291.
292.
293.
294.
295.
296.
297.
298.
299.
300.
Rychu Peja gościnnie cz. 2 (2004-2005)
Niech żyje Peja - FOREVER.
Niedziela AD 2025.05.18 h:05.10
Wstalem dizś ok h:04.30 i od tej pory jestem na chodzie!!! Słucham Właśnie składanki Darii Zawiałow na którą skladają się:
01. Daria Zawiałow - Złamane serce jest OK (Official Video)
02. Daria Zawiałow - Z Tobą na chacie (Official Video)
03. Daria Zawiałow - FIFI HOLLYWOOD (Official Video)
04. Daria Zawiałow - Ballada o Niej (Official Video)
05. Daria Zawiałow, Taco Hemingway - SUPRO (Official Video)
06. KaeN feat. Cheeba, WdoWA - Zbyt wiele
07. Daria Zawiałow, Artur Rojek - Dziwna (Official Video)
08. Daria Zawiałow - Dziewczyna Pop (Official Video)
09. Quebonafide feat. Daria Zawiałow - BUBBLETEA (prod. Duit) (Official Video)
10. Ania Karwan - Aleja gwiazd (Cover - Live)
11. Daria Zawiałow, Dawid Podsiadło - Za krótki sen (Official Video)
13. Sylwia Grzeszczak - och i ach [4K Official Music Video]
14. Daria Zawiałow, Sokół, Michał Kush - Laura (Official Video)
15. Daria Zawiałow - Punk Fu! (Top Model 2019)
16. Kizo ft. Bletka - TAXI (prod. Adash x BeMelo x Eddie Block)
17. Jeszcze w zielone gramy - piosenka z filmu Plan B
18. Varius Manx - Wolne Ptaki HD [Młode Wilki]
19. Daria Zawialow - Kundel Bury
20. KLEKS/IGO/Kaśka Sochacka/Mrozu/Artur Rojek/Brodka/Ralph Kaminski/Bedoes2115/Sokół-Całkiem Nowa Bajka
21. Smolasty & Doda - Nim Zajdzie Słońce [Official Music Video]
22. Daria Zawiałow - Kaonashi (カオナシ) [Official Video]
23. I Ciebie też, bardzo (feat. Daria Zawiałow, Dawid Podsiadło & Vito Bambino)
24. Lanberry, Tribbs - Dzięki, że jesteś [Official Music Video]
25. Daria Zawialow - Nie Dobiję Się Do Ciebie
26. Lanberry - Co ja robię tu [Official Music Video]
27. Daria Zawiałow feat. schafter, Ralph Kaminski - Czy Ty Słyszysz Mnie?
28. Myslovitz - Długość dźwięku samotności (Lyric Video)
29. Męskie Granie Orkiestra 2018 (Kortez, Podsiadło, Zalewski) – Początek (LIVE) Official Video
30. Daria Zawiałow - Gdybym Miała Serce (Lyric Video)
32. Kwiat Jabłoni - „Byłominęło”
34. Daria Zawiałow - Helsinki (Official Video)
35. Dawid Podsiadło - mori (Official Video)
36. sanah i Dawid Podsiadło „ostatnia nadzieja”
37. Cyrko, D3W - PRYWATNY BAL (Official Video)
38. Kaśka Sochacka - Niebo było różowe
39. Daria Zawiałow - Metropolis (Official Audio)
40. Agnieszka Chylińska - Kiedyś do Ciebie wrócę (Official Video)
41. Taco Hemingway - Mix Sałat feat. Daria Zawiałow (prod. Zeppy Zep)
42. Gibbs x Kiełas - Piękny świat (prod. Gibbs x Druid)
44. Oskar Cyms, Carla Fernandes - Do Gwiazd (Akademia Pana Kleksa / from Kleks Academy)
45. Wiktor Dyduła - Tam Słońce, Gdzie My
46. sanah – Jestem Twoją Bajką (Akademia Pana Kleksa / from Kleks Academy)
47. Męskie Granie Orkiestra 2024 (Daria Zawiałow, Mrozu, Kacperczyk) - Wolne duchy
49. bryska – Obca
50. Sobel & sanah "Cześć, jak się masz?"
51. Daria Zawiałow - Bambi Sarenka (Official Audio)
52. BARANOVSKI - Lubię być z nią [Official Music Video]
53. Agnieszka Chylińska - Królowa Łez [Official Music Video]
54. Agnieszka Chylińska - Winna (official video)
55. Doda & Pezet - Dom Nad Wodą (KuKis Blend)
56. sanah, Vito Bambino - Ale jazz!
57. MODELKI - Chyba że z Tobą (prod. Vłodarski)
59. Ruchome piaski
60. Daria Zawiałow - Ballada znad rzeki (Official Audio)
61. Varius Manx - Pocaluj noc (Do ciebie)
62. Kalwi & Remi feat. Guzowianki - Explosion Ech poleczko (DNSQ Remix)
63. Dawid Podsiadło - Pięknie płyniesz
64. Sylwia Grzeszczak - Latawce [Official Music Video 4k]
65. Daria Zawiałow - Tom Yum (Official Audio)
66. sanah - Szampan (Official Video)
67. Daria Zawiałow - Żółta Taksówka (Official Audio)
A teraz jest h:13.31 a na słuchawkach leci ania karwan wszystkie piosenki:69.
01. Ania Karwan - Słucham Cię w Radiu Co Tydzień [Official Music Video]
02. Ania Karwan - Dzięki Tobie [Official Music Video]
03. Ania Karwan - Czarny Świt [Official Music Video]
04. Ania Karwan - Głupcy [Official Music Video]
05. Ania Karwan - Wszystko - Live Performance | Vevo
06. Ania Karwan - Słucham Cię w Radiu Co Tydzień (Poplista Plus Live Sessions)
07. Ania Karwan - Głupcy (Poplista Plus Live Sessions)
08. Ania Karwan - Czarny Świt (Poplista Plus Live Sessions)
09. Anna Karwan - Więcej siebie dać (z filmu "Zanim Żyli Długo I Zaplątani")
10. Ania Karwan BABILON / MAŁA MIŁOŚĆ LIVE
12. Ania Karwan- secret game. live performance
14. Anna Karwan - "Słucham Cię w Radiu Co Tydzień" - The Voice of Poland 10
15. Miss Polski 2021: Ania Karwan - Słucham Cię w radiu co tydzień
16. Ania Karwan, Grzech Piotrowski ft. Kasta - Ostatni Raz – z filmu „Jak pokochałam gangstera”
17. Ania Karwan - Swobodnie (Official Video)
18. Ania Karwan - Papierosy (Official Video)
19. Ania Karwan / Leszek Możdżer - Kiedy mrugam (Official Video)
20. Ania Karwan - Kiedy mrugam (Już się nie boję) - Official Video
21. Ania Karwan - BIEGNĘ, BIEGNĘ (Official Video)
22. Ania Karwan - Stop (Official Video)
23. ANIA KARWAN - KIEDY MRUGAM | Dzień Dobry TVN
24. Feel - Taki Twój los (audio)
25. Anna Karwan w przeboju "Głupcy" na stołecznej scenie! [Warszawa Stolica Sylwestra 2019]
A teraz {h:14.30} leci na osdsluchu Feel - MIX na który składają się kawałki:
03. Feel - W Odpowiedzi Na Twoj List [Official Music Video]
04. W Ciemną Noc
05. Feel - No Kochaj Mnie [Official Music Video]
06. Feel - Swoje szczęście znam [Official Music Video]
07. Feel - Zostań ze mną [Official Music Video]
08. Feel - Pokaz Mi Niebo [Official Music Video]
09. Feel - 7 Stan (Official Video)
10. Feel - Jak na imię masz [Official Music Video]
11. Feel/Iwona Wegrowska - Pokonaj Siebie [Official Music Video]
12. Feel - Jesli Czegos Pragniesz [Official Music Video]
13. Feel - Caly Ten Swiat [Official Music Video]
14. Feel, Lanberry - Gotowi Na Wszystko (Official Video)
15. Feel - Twoje włosy rozwiał wiatr! [Official Music Video]
16. Perfect - Raz Po Raz (Strasza Nas) [Official Music Video]
17. Feel - Wiatr nad Sanem [Official Music Video]
18. Gabriel Fleszar - Kroplą Deszczu (Remastered 2023)
19. Felicjan Andzejczak - Jolka, Jolka pamiętasz
20. ARTUR GADOWSKI - ONA JEST ZE SNU
21. Feel, Damian Skoczyk - W blasku słońca [Official Music Video]
23. Lady Pank - Zostawcie titanica
24. Feel feat. Sebastian Riedel - Jedwabna nić (Official Video)
25. FEEL - Bezpieczny ląd [Official Music Video]
27. Budka Suflera - Ratujmy co się da
28. Bajm - Dwa serca, dwa smutki
30. FEEL - Lubię na Ciebie patrzeć (Official Video)
31. Urszula - " Na sen" (Official Video)
32. Feel - Hejnał [Official Audio]
A teraz {h:18.50} leci skladanka hip-hopowa:
03. PC Park- "Klatka".kurcze jakaż to muza i text - aż głowa puchnie!!!
04. Felipe, VNM, Jędker, Pezet, Sokół, Brahu, Numer Raz, Eldo - I żeby było normalnie
05. Tede - Glokk
06. Paluch "Bez Strachu" prod. SoDrumatic cuty Dj Taek
07. Tabasko - Wychowani w Polsce HD
08. Hemp Gru - Droga (prod. Kielich) (Official Video) [DIIL.TV]
09. Peja/Slums Attack - Szacunek ludzi ulicy (prod. DJ. Decks)
11. Czarny HIFI feat. Pezet - Niedopowiedzenia
12. Rahim - Fame ft. GrubSon & Abradab (Official video) prod. Stahu
13. WWO - Damy rade
14. Hemp Gru - Wyrok Ulicy feat. Dixon37, Firma (prod. Fuso) (Official Video) [DIIL.TV]
15. Hemp Gru - Życie Warszawy feat. Pono, Koras, Felipe, Romeo, Ero (Official Video) [DIIL.TV]
16. Peja / Slums Attack - Jest jedna rzecz
17. Hemp Gru - Braterstwo feat. Załoga (prod. Szwed SWD) (Official Video) [DIIL.TV]
18. Hemp Gru - Życie Warszawy 2 ft. Małach, Parzel, Onar, Kaczy, Siwers, Sokół, Pezet, Proceente, Rufuz
19. Paluch - Za Wszystko (prod. SoDrumatic) (Official Video) [DIIL.TV]
20. donGURALesko - Chcę Ci Dać feat. DJ Cube (prod. Tasty Beatz)
21. WWO feat Soundkail & Fu - Nie bój się zmiany na lepsze
22. Paktofonika - "Chwile Ulotne"
23. GrubSon - I'll see you in heaven (Official video)
24. Hemp Gru - Niespełnione Obietnice (prod. Nolte) (Official Video) [DIIL.TV]
25. KALIBER 44 - Normalnie o tej porze [OFFICIAL VIDEO]
27. Hemp Gru - Mary Mary feat. Żary, Ras Luta, Siostra Mariola (Official Video) [DIIL.TV]
28. White House Records & WWO - Każdy ponad każdym - Kodex 2 : Proces
29 Molesta - Tak mialo byc feat. Jamal
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Sobota AD 2025.05.17 h:14.23
Na słuchawkach leci składanka The Offspring na którą skladają się kawałki:
01. The Offspring - Want You Bad (Official Music Video)
02. The Offspring - Original Prankster (Official Music Video)
03. The Offspring - The Kids Aren't Alright (Official Music Video)
04. The Offspring - All I Want (Official Music Video)
05. The Offspring - You're Gonna Go Far, Kid (Official Music Video)
06. The Offspring - (Can't Get My) Head Around You
07. The Offspring - Why Don't You Get A Job? (Official Music Video)
08. The Offspring - Can't Repeat (Official Music Video)
09. The Offspring - Hit That (Official Music Video)
10. The Offspring - Pretty Fly (For A White Guy) (Official Music Video)
11. The Offspring - The Meaning Of Life
13. Dividing By Zero/Slim Pickens Does The Right Thing And Rides The Bomb To Hell (Official Video)
14. The Offspring - Million Miles Away
15. The Offspring - Kristy, Are You Doing Okay?
17. The Offspring - She's Got Issues (Official Video)
18. The Offspring - Days Go By
19. The Offspring - Hammerhead
A teraz {jest h:15.44} zapuścilem sobie piosenki Roksany Węgiel (i nie tylko Jej - taki mix)a sladają sie na takowóż:
03. Roksana Węgiel #Hot16Challenge2 (prod. Deemz)
04. Dawid Podsiadlo - Małomiasteczkowy
05. Smolasty & Doda - Nim Zajdzie Słońce [Official Music Video]
06. AniKa Dąbrowska - Małe Skrzydła
07. Roksana Węgiel - Bunt - Live Performance | Vevo
08. Roksana Węgiel – „Halo” – Blind Audition – The Voice Kids Poland
09. „Margaret - „Byle Jak” (shorter version)
11. Roksana Węgiel – „To nie ja” – Finał – The Voice Kids Poland
12. Roksana Węgiel ft. Pawbeats - Tajemnice (piosenka promująca film "Tajemniczy Ogród")
13. Roksana Węgiel - „Żyj” po ogłoszeniu wyników - The Voice Kids Poland
14. Roxie Węgiel - Where Have You Been || Sylwester z Dwójką 2023
15. BOVSKA - Kaktus (official live video)
16. Pawbeats ft. Roksana Węgiel - Każdej nocy
18. Roksana Węgiel - Kanaryjski (official video)
19. Roxie - Nowa Ja (Official Video)
20. Smolasty & Roxie Węgiel - Nie Mów Że Kochasz [Official Music Video]
21. Anastazja Maciąg, Roxie Węgiel - Nieładnie [Official Music Video]
22. Roxie Węgiel - Jak na filmach (Official Video)
25. Sylwia Grzeszczak feat. Mateusz Ziółko - Bezdroża [Official Music Video]
26. Sylwia Grzeszczak - Tamta dziewczyna [Official Music Video]
27. Luka Rosi - A Ty Bądź (Cover by The Dziemians)
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
6.
3
Czwartek AD 2025.04.15 h:06.36
Wstalem gdzieś tak przed h:06.00 i zapuścilem sobie Stachursky - Za Kazdy Dzien, Za Kazdy Szept i naszly mie takowe myśli:
Jeśli tylko sie budze myśle o Chlebie
Wtenczas czuję się jak w Niebie
Bowiem BARDZO Ciebie Pragnę Panie
Takie stawam Sobie teraz Pytanie
Cóż by poczoł Bez Ciebie Boże
Tyś jest jak kiełkujące we mnie Zboże
JakCie wielbie ie powiem
no bo sie nie wypowiem
TAk Ogromnie jeszcze bardziej MOŻE
Tyś O Panie jesteś mi Wszystkim co mi dopomoże
Tyś jest mi Njawiększym Przyjacielem
Tyś O Panie jest mym największym Arcydziełem
Jak NIeskończone jest TWE MIŁOSIERDZIE
Tak jak Wielkie jest TWEGO POKOJU ORĘDZIE
Chwalić CIĘ BĘDZIE LUD CHRZEŚCIJAŃSKI ZAWSZE I WSZĘDZIE
Niechaj MOC z Nami Będzie
Zawsze i po Wieki
Tak jak ciężkie mam nad rankiem powiekim
A teraz zpuściłem sobie Borysewicz & Kukiz - Bo tutaj jest jak jest piękne słowa a muzyka jaka??? Aż dech zabiera!!! O h:14.23 się obstrzygłem a teraz słucham U2 - I Still Haven't Found What I'm Looking For (30th anniversary extended mix)[zhd remix] Planuje jutro nie palić( palę tylko po odszczaniu, także planuje wypić 2 kawy i popijać sokiem grejfrutowym ) i nie jeśc nic!!! I nie tykam się komputera od h:00.00 do 12.00!!! Pamiętam jak Studiowałem we Wrocławiu to uczyłem sie do kolokwiów w czasie dojazdów tramwajów na Uczelnie!!! Wtenczas nazwano mnie BĄBIARZ (bowiem tak rozgrzewalem krzeselka, że paliło później innych w tylek) !!! Sczerze powiedziawszy byłe mTROSZKU ZAWIEDZINY Uczelniami Polskimi (myślałe mbowiem, że beda tak tak ajk w Stanch Zjednoczonych jakieś organizacje uczelniane - a tu NIC - ino każdy sobie rzebkę skrobie!!! Pamiętam jak po zajęciach raczyłem się knyszami bądz tostami -a mogłem pierogami, 1-den pieróg w cenie 1PLN!!! Ale pokochalem KNYSZE - pelna była warzyw, sosu i kotleta!!! PO dziś dzień pamiętam jak mi spływal sos po palcach!!! Aha jescze jedno - niedlugo zacznę rozwiazywać tu na swym blogu zadaia z MAtematyki iZ Fizyki!!! A propo Matematyki t onie wiem czy Wiecie ale 1/pierwiastek(2)<>pierwiastka(2)/2 bowie w mianowniku ie moze być licz=ba niewymierna jaką jest pierwiastek(2)!!! Ot taka Ciekawostka!!! Ciekaw jestem czy pamiętam jescze wzory zobaczmy więc:
f(x)=a+bx - funkcja liniowa
f(x)=ax+b(x)^2+c(x)^3+...n!(x)^n - wielomian n-tego stopnia
f(x)=C(adadt)=a - całka ze stalej "a"
f(a,x)=C(axdadxdt=(ax){pochodna} = ax^(-1) - calka z funkcji liniowej
f(a,x)=ax+bx^2+cx^3+...n!{(a!)^n!(x)}^n!=pochodna(ax+bx^2+cx^3+...n!{(a!)^n!(x)}^n!) całka z wielomianu n-tego stopnia
******************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************
********************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************
******************************************************************************************************************************************************
****************************************************** LICZBY ZESPOLONE *********************************************************************
Wprowadzenie do liczb zespolonych
Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem C (ang. complex number).
W zbiorze liczb zespolonych można wyciągać pierwiastki z liczb ujemnych (co nie jest dozwolone w zbiorze liczb rzeczywistych R).
Pierwiastek (parzystego stopnia) z liczby ujemnej jest tzw. liczbą urojoną i zapisujemy go za pomocą jednostki urojonej i.
Definicja
Jednostka urojona i podniesiona do kwadratu daje −1, czyli:
i2=−1
Przykład 1.
Jeżeli x∈R, to równanie x2=−1 nie ma rozwiązań.
Jeżeli x∈C, to równanie x2=−1 ma dwa rozwiązania:
x2=−1x=i∨x=−i
Przykład 2.
W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie x2=−9
Rozwiązanie:
x2=−9x=3i∨x=−3i
ponieważ:
(3i)2=9⋅i2=9⋅(−1)=−9
oraz
(−3i)2=9⋅i2=9⋅(−1)=−9
Definicja
Liczbę zespoloną można zapisać tak:
a+bi
gdzie: a,b∈R.
Nazewnictwo:
a - część rzeczywista
b - część urojona
i - jednostka urojona
Liczba zespolona może składać się tylko z części rzeczywistej lub tylko z części urojonej. W szczególności każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną.
Proste działania na liczbach zespolonych
Działania na liczbach zespolonych wykonujemy bardzo podobnie jak na wyrażeniach algebraicznych.
Przykład 1.
Dodawaj liczby zespolone 3+5i oraz 7+11i.
Rozwiązanie:
Grupujemy wyrazy i dodajemy:
3+5i+7+11i=3+7+5i+11i=10+16i
Spostrzeżenie:
Powyższy rachunek wykonaliśmy analogicznie jak przy sumowaniu wyrażeń algebraicznych: 3+5x oraz 7+11x:
3+5x+7+11x=3+7+5x+11x=10+16x
Przykład 2.
Uprość wyrażenie 10−7i−5+4i.
Rozwiązanie:
Grupujemy wyrazy i wykonujemy następujący rachunek:
10−7i−5+4i=10−5−7i+4i=5−3i
W działaniach na liczbach zespolonych często wykorzystujemy fakt:
i2=−1
Przykład 3.
Wykonaj mnożenie liczb zespolonych (5+2i)⋅(3−7i).
Rozwiązanie:
Mnożymy nawiasy metodą "wyraz za wyrazem":
(5+2i)⋅(3−7i)=5⋅3−5⋅7i+2i⋅3−2i⋅7i==15−35i+6i−14i2==15−29i−14⋅(−1)==15−29i+14==29−29i
Spostrzeżenie:
Powyższy rachunek byłby bardzo podobny dla analogicznych wyrażeń algebraicznych:
(5+2x)⋅(3−7x)=5⋅3−5⋅7x+2x⋅3−2x⋅7x==15−35x+6x−14x2==15−29x−14x2
Zauważmy, że działając na liczbach zespolonych mogliśmy bardziej uprościć wynik, korzystając z faktu: i2=−1.
Przykład 4.
Przykłady upraszczania wysokich potęg liczby urojonej i:
a)
i^3=i2⋅i=−1⋅i=−i
b)
i^4=(i2)2=(−1)@2=1
c)
i^14=(i2)7=(−1)^7=−1
d)
i^21=(i^2)^10⋅i1=(−1)^10⋅i=1⋅i=i
e)
i^100=(i^4)25=j^4*25^1=2^25=1
Powyższe przykłady obliczania potęg postaci in można podsumować następującym twierdzeniem.
Twierdzenie
Niech n będzie liczbą naturalną. Wówczas:
in=i jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 1.
in=−1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 2.
in=−i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 3.
in=1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 0.
Fakt
Każde działanie na liczbach zespolonych można uprościć do liczby zespolonej postaci a+bi, gdzie a,b∈R.
Zadanie 1.
Oblicz:
a)
(i2+i4+i6)⋅i9=
b)
i100−i150+i155=
c)
i1+12+14+...+12n+...=
Film
Nauka
Zadanie 2.
Oblicz:
a)
(5+2i)+(3−9i)=
b)
(i−3)−(2−5i)=
c)
(i2–√−1)⋅(3i+2)=
Zadanie 3.
Oblicz:
a)
i7+i9i8=
b)
2−7i3i=
c)
2+3i1−5i=
Liczby sprzężone
Definicja
Przyjmijmy, że mamy daną liczbę zespoloną z=a+bi.
Wówczas liczbę a−bi nazywamy liczbą sprzężoną do z i oznaczamy symbolem z¯.
Czyli:
z¯=a−bi
Przykład 1.
jeżeli z=2+7i, to z¯=2−7i
jeżeli z=3–√−i, to z¯=3–√+i
jeżeli z=2i, to z¯=−2i
jeżeli z=5i+1, to z¯=1−5i
Dla liczb sprzężonych zachodzą następujące fakty.
Własności liczb sprzężonych
Dla dowolnych z,z1,z2∈C mamy:
z+z¯¯¯=2Re(z)
z1+z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯+z2¯¯¯¯¯
z⋅z¯¯¯=|z|^2
W trzecim podpunkcie pojawił się nowy symbol |z|, który oznacza moduł liczby z.
Moduł liczby zespolonej z=a+bi liczymy ze wzoru:
|z|=a^2+b^2
=
Moduł liczby zespolonej
Definicja
Przyjmijmy, że mamy daną liczbę zespoloną z=a+bi.
Wówczas liczbę √(a^2+b^2) nazywamy modułem liczby z i oznaczamy symbolem |z|. Czyli:
|z|=√(a^2+b^2)
Przykład 1.
Oblicz moduł liczby zespolonej z=3+4i.
Rozwiązanie:
|z|=pierwiastek.kw(3^2+4^2)=pierwiastek.kw(9+16)=pierwiastek.kw.(25)=5
Przykład 2.
Oblicz moduł liczby zespolonej z=2+5i.
Rozwiązanie:
|z|=pierwiastek/kw(2^2+5^2)=pierwiastek/kw(4+25=pierwiastek.kw(29)
Przykład 3.
Oblicz moduł liczby zespolonej z=1−3i.
Rozwiązanie:
|z|=pierwiastek.kw(1^2+(−3)^2)=pierwiastek.kw(1+9)=
p=pierwiastek.kw(10) - gdzie pierwiastek.kw=√
Przykład 4.
Oblicz moduł liczby zespolonej z=10i.
Rozwiązanie:
Dla tej liczby zespolonej cześć rzeczywista jest równa 0, zatem zapiszemy:
|z|=√(0^2+(10)^2=√100=10
Przykład 5.
Oblicz moduł liczby zespolonej z=2i2−3i+1.
Rozwiązanie:
Najpierw musimy uprościć liczbę zespoloną:
z=2i2−3i+1==2⋅(−1)−3i+1==−2−3i+1==−1−3i=
Teraz możemy obliczyć moduł:
|z|=√{(−1)^2+(−3)^2){=√(1+9)=√10
Własności modułu
Dla dowolnych z,z1,z2∈C mamy:
z⋅z¯¯¯=|z|^2
|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|
|z1+z2|≤|z1|+|z2|
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej {PATRZ:Interpretacja geometryczna liczby zespolonej}
W rozdziale Definicja powiedzieliśmy, że każdej liczbie zespolonej z=a+bi odpowiada uporządkowana para liczb (a,b).
Przykład 1.
Przykłady zapisania liczby zespolonej na dwa różne sposoby.
Liczba zespolona zapisana w postaci ogólnej Liczba zespolona zapisana jako punkt
a+bi (a,b)
2+5i (2,5)
5+2i (5,2)
7−i (7,−1)
−8−2i (−8,−2)
i (0,1)
1 (1,0)
0 (0,0)
Możemy interpretować liczby zespolone jako punkty na płaszczyźnie.
Na osi x-ów będziemy zaznaczać część rzeczywistą liczby zespolonej, a na osi y-ów część urojoną.
Oto przykłady kilku konkretnych liczb zespolonych zaznaczonych w układzie współrzędnych:
W powyższym układzie współrzędnych zaznaczyłem również liczby sprzężone do z1, z2 oraz z4. Zauważ, że są one po prostu odbiciami symetrycznymi względem osi x-ów.
Zaznaczymy teraz jeden ogólny punkt na płaszczyźnie zespolonej i określimy dla niego kilka własności.
Odległość liczby zespolonej z=a+bi od początku układu współrzędnych, z twierdzenia Pitagorasa, wyraża się wzorem: Czyli jest to po prostu moduł tej liczby z.
Kąt między osią Re, a półprostą wychodzącą z początku układu współrzędnych i przechodzącą przez punkt z oznaczamy najczęściej literką φ (czytamy: fi).
Miarę zaznaczonego kąta φ będziemy zazwyczaj wyrażać w radianach (a nie w stopniach). Możemy zatem napisać, że φ∈R.
Liczbę φ nazywamy argumentem liczby z i oznaczamy argz.
Dla liczby z którą zaznaczyliśmy w powyższym układzie współrzędnych mamy:
argz=φ
Korzystając wprost z definicji funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego narysowanego w powyższym układzie współrzędnych, otrzymujemy: Wzory po prawej stronie otrzymaliśmy z tych po lewej, po prostu podstawiając do nich wzór na moduł. Dla wygody dalej będziemy posługiwali się głównie tymi wzorami po lewej (bo są krótsze w zapisie). Bezpośrednio z nich otrzymujemy, że:
:
Możemy zatem zapisać, że:
:
Wzór który otrzymaliśmy: to postać trygonometryczna liczby zespolonej z=a+bi.
Wiemy już, że możemy przedstawić jedną liczbę zespoloną na trzy różne sposoby:
w postaci ogólnej z=a+bi,
jako punkt (a,b) na płaszczyźnie,
w postaci trygonometrycznej z=|z|(cosφ+isinφ).
Każda z nich ma swoje plusy i minusy. Zaletą postaci trygonometrycznej jest to, że umożliwia w łatwy sposób podnoszenie liczb zespolonych do dużych potęg. Więcej na ten temat powiemy w rozdziale Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych.
Przykład 2.
Dla liczby zespolonejz=3–√+i wyznacz moduł, argument oraz postać trygonometryczną.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od zaznaczenia liczby z w układzie współrzędnych: Obliczamy moduł z twierdzenia Pitagorasa: Teraz obliczamy argument, np. korzystając z definicji sinusa: Zatem:
: Możemy nawet zapisać, że:
: Teraz zapisujemy postać trygonometryczną, podstawiając do wzoru wyliczone przed chwilą wartości: Możemy jeszcze sprawdzić, że obliczając wartości liczbowe funkcji trygonometrycznych w powyższym wzorze, otrzymamy wyjściową postać ogólną:
Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych {PATRZ:Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych
Liczby zespolone z,w∈C, z argumentami odpowiednio kontów:
>z=IzI(cosa+j*sina)
>w=IwI(cosb+jsinb)
Obliczymy teraz iloczyn tych liczb zapisanych w postaci trygonometrycznej:
z*w=IzI(cosa+sina)*IwI(cosb+jsinb)=IzI*IwI(cos(a+b)+j(sin(a+b))
(Ostatnia równość wynika ze wzorów trygonometrycznych na cosinus sumy kątów oraz na sinus sumy kątów.
Powyższy rachunek pokazuje, że przy mnożeniu dwóch liczb zespolonych z,w∈C otrzymujemy liczbę zespoloną, której:
moduł jest iloczynem modułów liczb z oraz w,
argument jest sumą argumentów liczb z oraz w.
Wynika stąd następujący wzór:
(IzI*(cosa+jsina))^n=(IzI^n*(cosna+jsinna)):
Wzór de Moivre'a
Dla dowolnej liczby z∈C zachodzi następujący wzór:
Przy pomocy tego wzoru można szybko podnosić liczby zespolone do dowolnie dużych potęg.
Przykład 1.
Dana jest liczba z=1−i. Oblicz z^100.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od zapisania liczby zespolonej z=1−i w postaci trygonometrycznej.
Obliczamy moduł:
|z|=√(1^2+(−1)^2)=√2
Obliczamy argument: Kąt φ leży w IV ćwiartce układu współrzędnych, zatem:
sina=b/IzI=-1/√2=-√2/2:
Argument można było również odczytać z układu współrzędnych. Widać, że φ=3⋅90∘+45∘=315∘.
Zapiszmy teraz liczbę z=1−i w postaci trygonometrycznej: Korzystając ze wzoru de Moivre'a liczymy, że:
z=IzI*(cosφ+isinφ)=√2*(cos7*Pi/4+isin7Pi/4)
z^100=IzI^100(cos(100φ)+isin(100φ))=(√2)^100*(cos100*7Pi/4+isin(100*Pi/4))=
=2^50(cos175Pi+isin175Pi)=2^50*(cosPi+isinPi)=2^50(-1 + i*0)=-2^50
:
Przykład 2.
Dana jest liczba z=−1+√3i. Oblicz z^67.
Rozwiązanie:
Zaznaczamy liczbę z=−1+√3i w układzie współrzędnych: Teraz obliczamy moduł:
|z|=√((−1)^2+ (√3)^2)= √4 = 2
Obliczamy argument: Kąt φ leży w II ćwiartce układu współrzędnych, zatem:
Argument można było również odczytać z układu współrzędnych. Widać, że φ=90∘+30∘=120∘.
Zapiszmy teraz liczbę z=−1+3–√i w postaci trygonometrycznej: Stosując wzór de Moivre'a obliczamy, że
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Gdy pierwiastkujemy liczby zespolone, to możemy otrzymać kilka różnych wyników.
Na przykład pierwiastkiem 4 stopnia z liczby 1 są liczby: 1, -1, i oraz -i, ponieważ:
(1)^4=1 ;
(-1)^4=1 ;
(i)^4=1 ;
(-i)^4=1;
Zatem wyciągając pierwiastek 4 stopnia z liczby rzeczywistej 1, mamy w liczbach zespolonych aż 4 rozwiązania!
Generalnie gdy wyciągamy pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej, to zawsze otrzymujemy n rozwiązań. O tym jak obliczyć te rozwiązania mówi następujące twierdzenie:
Twierdzenie
Niech z = |z|(cosφ + i sinφ) będzie liczbą zespoloną różną od zera.
Wówczas pierwiastkami stopnia n z liczby z są liczby:
^n√IzI*(cos(φ+2kPi)/n+isin(φ+2kPi/n)) dla k=0,1,2...,n-1:
:
:
******************************************************************************************************************************************************
*******************************************************************************************************************************************************
Równania i nierówności
◀ Równania w zadaniach z treścią
Nierówności liniowe ▶
Równanie oznaczone, tożsamościowe i sprzeczne
Drukuj
Poziom podstawowy
Definicja
Równanie nazywamy:
oznaczonym - jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie,
tożsamościowym (nieoznaczonym) - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań,
sprzecznym - jeżeli nie ma rozwiązań.
Przykład 1.
Rozwiąż równianie:
3x+1=−3x−2
i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne.
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie:
3x+13x+3x6xx=−3x−2=−2−1=−3=−12
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=−12, zatem jest to równanie oznaczone.
Przykład 2.
Rozwiąż równianie:
2⋅(5x−3)+3=3⋅(2x−1)+4x
i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne.
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie:
2⋅(5x−3)+310x−6+310x−3=3⋅(2x−1)+4x=6x−3+4x=10x−3
Lewa strona równania jest równa prawej, zatem mamy równanie nieoznaczone (tożsamościowe).
Równie tego typu ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ dowolna liczba podstawiona pod x da równanie prawdziwe.
Przykładowo dla x=7 mamy:
10⋅7−370−367=10⋅7−3=70−3=67
Tak samo np dla x=2 mamy:
10⋅2−320−317=10⋅7−3=20−3=17
Równanie tożsamościowe zawsze można doprowadzić do postaci 0=0. W tym przykładzie również:
10x−310x0=10x−3=10x=0
Równanie tożsamościowe jest spełnione dla x∈R.
Przykład 3.
Rozwiąż równanie x−2–√+1=1−2–√+x.
Rozwiązanie:
x−2–√+1x−x0=1−2–√+x=1−2–√+2–√−1=0
Otrzymaliśmy równanie 0=0, które jest spełnione dla dowolnej liczby rzeczywistej x.
Zatem równanie jest tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R.
Przykład 4.
Rozwiąż równanie 18−−√⋅x+5=3(x2–√+4)−7.
Rozwiązanie:
9⋅2−−−√⋅x+532–√⋅x+532–√⋅x−32–√⋅x0=3(x2–√+4)−7=32–√⋅x+12−7=5−5=0
Otrzymaliśmy równanie 0=0, które jest tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Rozwiązaniem równania jest x∈R.
Przykład 5.
Rozwiąż równianie:
7x−2=7x+3
i określ czy jest oznaczone, tożsamościowe czy sprzeczne.
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie:
7x−27x−7x0=7x+3=3+2=5
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne.
Przykład 6.
Równanie:
x2=4
nie jest ani oznaczone, ani tożsamościowe, ani sprzeczne, ponieważ ma dwa rozwiązania:
x=−2∨x=2
Przykład 7.
Równanie:
x2=−4
jest sprzeczne, ponieważ nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do drugiej potęgi da liczbę ujemną.
******************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************
*******************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************
POTĘGOWANIE
Potęgowanie - wprowadzenie
Potęgi zapisujemy tak:
Definicja
Potęga liczby a o wykładniku naturalnym n, to:
a^n=a⋅a⋅a⋅...⋅a n razy
Przykład 1.
Oto przykłady stosowania definicji i zamieniania potęg na iloczyny:
5^3=5⋅5⋅5
5^7=5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5
2^4=2⋅2⋅2⋅2
3^2=3⋅3
3^10=3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3
3^11=3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3
3^12=3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3
x^3=x⋅x⋅x
x^4=x⋅x⋅x⋅x
(5x)^4=(5x)⋅(5x)⋅(5x)⋅(5x)
(5x)^6=(5x)⋅(5x)⋅(5x)⋅(5x)⋅(5x)⋅(5x)
(5x−2)^2=(5x−2)⋅(5x−2)
Za pomocą potęg możemy w prosty sposób zapisywać długie iloczyny takich samych liczb (co widać na powyższych przykładach).
*********************************************************** Ciągi *********************************************************************************:
*******************************************************************************************************************************************************
********************************************************************************************************************************************************
Ciąg arytmetyczny
Definicja
Ciąg arytmetyczny (an) - to taki ciąg liczbowy, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość r, czyli dla dowolnego n∈N+ zachodzi:
an+1=an+r
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Przykład 1.
Przykłady ciągów arytmetycznych:
a)
3,7,11,15,... - ciąg arytmetyczny o różnicy r=4, czyli każdy kolejny wyraz jest o 4 większy od poprzedniego.
b)
12,−12,−32,−52,... - ciąg arytmetyczny o różnicy r=−1, czyli każdy kolejny wyraz jest o 1 mniejszy od poprzedniego.
c)
7,7,7,7,... - ciąg stały o różnicy r=0.
Najważniejsze wzory
Dla ciągu arytmetycznego (an) zachodzą następujące wzory:
Wzór na n-ty wyraz:
an=a1+(n−1)⋅r
lub
an=ak+(n−k)⋅r
Jeśli liczby a,b,c w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, to zachodzi wzór:
b=a+c2
Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu:
Sn=a1+an2⋅n
Wzór na n-ty wyraz, wykorzystujący sumę:
an=Sn−Sn−1
Przykład 2.
Dla ciągu arytmetycznego an=3n wypisz kilka początkowych wyrazów i oblicz różnicę ciągu arytmetycznego oraz wyraz a100.
Rozwiązanie:
Wypisujemy początkowe wyrazy:
3,6,9,12,...
Różnica ciągu arytmetycznego to:
r=a2−a1=6−3=3
Teraz obliczamy wyraz setny:
a100=3⋅100=300
Przykład 3.
Podaj różnicę ciągu arytmetycznego 34,14,−14,... i wypisz dwa jego kolejne wyrazy. Określ monotoniczność tego ciągu.
Rozwiązanie:
Obliczamy różnicę ciągu arytmetycznego:
r=a2−a1=14−34=−12
Teraz możemy obliczyć dwa kolejne wyrazy:
a4=a3+r=−14+(−12)=−34
a5=a4+r=−34+(−12)=−54
Różnica ciągu arytmetycznego jest ujemna, więc ciąg jest malejący.
Przykład 4.
Oblicz trzynasty wyraz ciągu arytmetycznego (an), jeśli a1=5 oraz r=3.
Rozwiązanie:
a1=5a2=5+3=8a3=5+2⋅3=11a4=5+3⋅3=14⋮a13=5+12⋅3=41
Aby otrzymać wyraz a13 ciągu arytmetycznego, skorzystaliśmy ze zależności: a13=a1+(13−1)r. Jest to wzór ogólny ciągu arytmetycznego.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego (an) ma postać:
an=a1+(n−1)⋅r
gdzie:
a1 - to pierwszy wyraz ciągu,
r - różnica ciągu
Przykład 5.
Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego 5,7,9,11,.... Oblicz 50-ty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie:
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a1=5 i różnicy:
r=a2−a1=7−5=2
Zatem wzór ogólny ma postać:
an=a1+(n−1)⋅r=5+(n−1)⋅2=5+2n−2=2n+3
Teraz możemy obliczyć 50-ty wyraz tego ciągu:
a50=2⋅50+3=103
Przykład 6.
Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego 15,1,−13,.... Oblicz 15-ty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie:
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a1=15 i różnicy:
r=a2−a1=1−15=−14
Zatem wzór ogólny ma postać:
an=a1+(n−1)⋅r=15+(n−1)⋅(−14)=15−14n+14=−14n+29
Teraz możemy obliczyć 15-ty wyraz tego ciągu:
a15=−14⋅15+29=−181
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Ciąg arytmetyczny (an) o różnicy r jest:
rosnący, gdy r>0,
malejący, gdy r<0,
stały, gdy r=0.
Przykład 7.
Zbadaj monotoniczność ciągu arytmetycznego an=−4n+1.
Rozwiązanie:
Obliczamy dwa dowolne, kolejne wyrazy ciągu (an), np:
a1=−4⋅1+1=−3
a2=−4⋅2+1=−7
Teraz obliczamy różnicę:
r=a2−a1=−7−(−3)=−4
Różnica wyszła ujemna, zatem ciąg (an) jest malejący.
Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne liczy a,b,c tworzą ciąg arytmetyczny, to środkowa liczba jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
b=a+c2
Dowód:
Skoro liczy a,b,c tworzą ciąg arytmetyczny, to możemy obliczyć różnicę tego ciągu na dwa sposoby:
r=b−aorazr=c−b
Zatem mamy:
b−a2bb=c−b=a+c=a+c2
Co należało udowodnić.
Przykład 8.
Oblicz x jeżeli liczby 3,x,14 tworzą ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie:
Skoro liczby tworzą ciąg arytmetyczny, to środkowa liczba jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
x=3+142=172
Przykład 9.
Oblicz x jeżeli liczby 9,−2x+1,−1 tworzą ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie:
Liczby tworzą ciąg arytmetyczny, więc środkowa z nich jest średnią arytmetyczną liczb sąsiednich:
−2x+1−2x+1−2xx=9+(−1)2=4=3=−32
Zadanie 1.
Czy podany ciąg jest arytmetyczny?
a)
3,6,9,12,15
b)
−2,2,6,10
c)
−5,−3,3,5
d)
17,17,17,17
Zadanie 2.
Czy ciąg o podanym wyrazie ogólnym jest arytmetyczny? Jeśli tak, to oblicz a1 i różnicę tego ciągu
a)
an=−5+n
b)
an=7n+3
c)
an=2−(1−3n)
d)
an=n2−1
e)
an=3n−12
f)
an=12n
Zadanie 3.
Podane liczby, to dwa początkowe wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego, znajdź różnicę oraz dwa następne wyrazy tego ciągu.
a)
14,18
b)
1,21
c)
0,3,0,2
Zadanie 4.
Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a2=4 oraz a3=9.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu (an) jest równy
A.24
B.29
C.36
D.69
Zadanie 5.
W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, a5=−31 oraz a10=−66. Różnica tego ciągu jest równa
A.(−7)
B.(−19,4)
C.7
D.19,4
Ciąg geometryczny
Drukuj
Poziom podstawowy
Definicja
Ciąg geometryczny (an) - to taki ciąg liczbowy, w którym każda kolejna liczba powstaje przez pomnożenie poprzedniej liczby przez q. Czyli dla dowolnego n∈N+ zachodzi:
an+1=an⋅q
Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Przykład 1.
Przykłady ciągów geometrycznych:
a)
3,6,12,24,... - ciąg geometryczny rosnący o ilorazie q=2.
b)
12,−32,92,−272,... - ciąg geometryczny o ilorazie q=−3.
c)
10,2,25,225,... - ciąg geometryczny malejący o ilorazie q=15.
d)
5,5,5,5,... - ciąg geometryczny stały o ilorazie q=1.
Najważniejsze wzory
Niech będzie dany ciąg geometryczny (an). Wtedy zachodzą następujące wzory:
Wzór na n-ty wyraz:
an=a1⋅qn−1
lub
an=ak⋅qn−k
Jeśli liczby a,b,c w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi wzór:
b2=a⋅c
Wzór na sumę n wyrazów ciągu:
Sn=⎧⎩⎨a1⋅1−qn1−qdla q≠1a1⋅n dla q=1
Przykład 2.
Dla ciągu geometrycznego an=5⋅2n wypisz kilka początkowych wyrazów i oblicz iloraz ciągu geometrycznego oraz wyraz a10.
Rozwiązanie:
Wypisujemy początkowe wyrazy:
10,20,40,...
Iloraz ciągu geometrycznego to:
q=a2a1=2010=2
Teraz obliczamy wyraz dziesiąty:
a10=5⋅210=5120
Przykład 3.
Podaj iloraz ciągu geometrycznego 34,14,112,... i wypisz dwa jego kolejne wyrazy. Określ monotoniczność tego ciągu.
Rozwiązanie:
Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
q=a2a1=3414=13
Teraz możemy obliczyć dwa kolejne wyrazy:
a4=a3⋅q=112⋅13=136
a5=a4⋅q=136⋅13=1108
Iloraz q ciągu jest liczbą z przedziału (0,1). W takiej sytuacji ciąg geometryczny jest malejący.
Przykład 4.
Oblicz dziesiąty wyraz ciągu geometrycznego (an), jeśli a1=5 oraz q=−2.
Rozwiązanie:
a1=5a2=5⋅(−2)=−10a3=5⋅(−2)2=−20a4=5⋅(−2)3=40⋮a10=5⋅(−2)9=−2560
Aby otrzymać wyraz a10 ciągu geometrycznego, skorzystaliśmy ze zależności: a10=a1⋅q10−1 (jest to wzór ogólny ciągu geometrycznego).
Wzór ogólny ciągu geometrycznego (an) ma postać:
an=a1⋅qn−1
gdzie:
a1 - to pierwszy wyraz ciągu,
q - iloraz ciągu
Przykład 5.
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego 4,2,1,.... Oblicz 5-ty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie:
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a1=4 i ilorazie:
q=a2a1=24=12
Zatem wzór ogólny ma postać:
an=a1⋅qn−1=4⋅(12)n−1
Teraz możemy obliczyć 5-ty wyraz tego ciągu:
a5=4⋅(12)5−1=14
Przykład 6.
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego 5,−15,45,.... Oblicz 6-ty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie:
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a1=5 i ilorazie:
q=a2a1=−155=−3
Zatem wzór ogólny ma postać:
an=a1⋅qn−1=5⋅(−3)n−1
Teraz możemy obliczyć 6-ty wyraz tego ciągu:
a6=5⋅(−3)6−1=−5⋅35
Monotoniczność ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny (an) o ilorazie q jest:
rosnący, gdy q>1,
malejący, gdy q∈(0,1),
stały, gdy q=1.
Przykład 7.
Zbadaj monotoniczność ciągu geometrycznego an=3n.
Rozwiązanie:
Obliczamy dwa dowolne, kolejne wyrazy ciągu (an), np:
a1=31=3
a2=32=9
Teraz obliczamy iloraz:
q=a2a1=3
Iloraz jest większy od 1, zatem ciąg (an) jest rosnący.
Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne liczy a,b,c tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi:
b2=a⋅c
Przykład 8.
Oblicz x jeżeli liczby 3,x,5 tworzą ciąg geometryczny.
Rozwiązanie:
Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi:
x2=3⋅5x2=15x=15−−√∨x=−15−−√
Przykład 9.
Oblicz x jeżeli liczby x,x+1,x+3 tworzą ciąg geometryczny.
Rozwiązanie:
Liczby tworzą ciąg geometryczny, zatem:
(x+1)2x2+2x+1x=x⋅(x+3)=x2+3x=1
Lekcja 1. Ciąg geometryczny
Zadanie 1.
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego
a)
6, 12, 24,...
b)
8, −4, 2,...
c)
25, 12, 58,...
d)
22, 2,2, 0,22,...
Zadanie 2.
Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego a1, wiedząc, że:
a)
q=5, a7=125;
b)
q=12, a13=18192;
c)
q=−23, a6=3227;
d)
q=3, a8=10935;
Zadanie 3.
Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego q, wiedząc, że:
a)
a1=6,a5=227;
b)
a1=−1,a10=−512;
c)
a1=100,a5=65,61;
d)
a1=0,5,a6=512;
******************************************************************************************************************************************************
**********************************************************************************************************************************************************