Dziś juz Czwartek a ja jsestem poukladany...

Czwartek AD 2025.04.15 h:06.36

Wstalem gdzieś tak przed h:06.00 i zapuścilem sobie Stachursky - Za Kazdy Dzien, Za Kazdy Szept  i naszly mie takowe myśli:

Jeśli tylko sie budze myśle o Chlebie

Wtenczas czuję się jak w Niebie

Bowiem BARDZO Ciebie Pragnę Panie

Takie stawam Sobie teraz Pytanie

Cóż by poczoł Bez Ciebie Boże

Tyś jest jak kiełkujące we mnie Zboże

JakCie wielbie ie powiem

no bo sie nie wypowiem

TAk Ogromnie jeszcze bardziej MOŻE

Tyś O Panie jesteś mi Wszystkim co mi dopomoże

Tyś jest mi Njawiększym Przyjacielem

Tyś O Panie jest mym największym Arcydziełem

Jak NIeskończone jest TWE MIŁOSIERDZIE

Tak jak Wielkie jest TWEGO POKOJU ORĘDZIE

Chwalić CIĘ BĘDZIE LUD CHRZEŚCIJAŃSKI ZAWSZE I WSZĘDZIE

Niechaj MOC z Nami Będzie

Zawsze i po Wieki

Tak jak ciężkie mam nad rankiem powiekim

A teraz zpuściłem sobie Borysewicz & Kukiz - Bo tutaj jest jak jest  piękne słowa a muzyka jaka??? Aż dech zabiera!!! O h:14.23 się obstrzygłem a teraz słucham U2 - I Still Haven't Found What I'm Looking For (30th anniversary extended mix)[zhd remix] Planuje jutro nie palić( palę tylko po odszczaniu, także planuje wypić 2 kawy i popijać sokiem grejfrutowym ) i nie jeśc nic!!! I nie tykam się komputera od h:00.00 do 12.00!!! Pamiętam jak Studiowałem we Wrocławiu to uczyłem sie do kolokwiów w czasie dojazdów tramwajów na Uczelnie!!! Wtenczas nazwano mnie BĄBIARZ (bowiem tak rozgrzewalem krzeselka, że paliło później innych w tylek) !!! Sczerze powiedziawszy byłe mTROSZKU ZAWIEDZINY Uczelniami Polskimi (myślałe mbowiem, że beda tak tak ajk w Stanch Zjednoczonych jakieś organizacje uczelniane - a tu NIC - ino każdy sobie rzebkę skrobie!!! Pamiętam jak po zajęciach raczyłem się knyszami bądz tostami  -a mogłem pierogami, 1-den pieróg w cenie 1PLN!!! Ale pokochalem KNYSZE - pelna była warzyw, sosu i kotleta!!! PO dziś dzień pamiętam jak mi spływal sos po palcach!!! Aha jescze jedno - niedlugo zacznę rozwiazywać tu na swym blogu zadaia z MAtematyki iZ Fizyki!!! A propo Matematyki t onie wiem czy Wiecie ale 1/pierwiastek(2)<>pierwiastka(2)/2 bowie w mianowniku ie moze być licz=ba niewymierna jaką jest pierwiastek(2)!!! Ot taka Ciekawostka!!! Ciekaw jestem czy pamiętam jescze wzory zobaczmy więc:

f(x)=a+bx                                      - funkcja liniowa

f(x)=ax+b(x)^2+c(x)^3+...n!(x)^n   - wielomian n-tego stopnia

f(x)=C(adadt)=a                             - całka ze stalej "a"

f(a,x)=C(axdadxdt=(ax){pochodna} = ax^(-1) - calka z funkcji liniowej

f(a,x)=ax+bx^2+cx^3+...n!{(a!)^n!(x)}^n!=pochodna(ax+bx^2+cx^3+...n!{(a!)^n!(x)}^n!) całka z wielomianu n-tego stopnia

 ******************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************

********************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************

******************************************************************************************************************************************************

****************************************************** LICZBY ZESPOLONE *********************************************************************

Wprowadzenie do liczb zespolonych

Zbiór liczb zespolonych oznaczamy symbolem C (ang. complex number).
W zbiorze liczb zespolonych można wyciągać pierwiastki z liczb ujemnych (co nie jest dozwolone w zbiorze liczb rzeczywistych R).
Pierwiastek (parzystego stopnia) z liczby ujemnej jest tzw. liczbą urojoną i zapisujemy go za pomocą jednostki urojonej i.
Definicja
Jednostka urojona i podniesiona do kwadratu daje −1, czyli:
i2=−1
Przykład 1.
Jeżeli x∈R, to równanie x2=−1 nie ma rozwiązań.
Jeżeli x∈C, to równanie x2=−1 ma dwa rozwiązania:
x2=−1x=i∨x=−i
Przykład 2.
W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie x2=−9
Rozwiązanie:
x2=−9x=3i∨x=−3i
ponieważ:
(3i)2=9⋅i2=9⋅(−1)=−9
oraz
(−3i)2=9⋅i2=9⋅(−1)=−9
Definicja
Liczbę zespoloną można zapisać tak:
a+bi
gdzie: a,b∈R.
Nazewnictwo:

a - część rzeczywista
b - część urojona
i - jednostka urojona

Liczba zespolona może składać się tylko z części rzeczywistej lub tylko z części urojonej. W szczególności każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną.

Proste działania na liczbach zespolonych

Działania na liczbach zespolonych wykonujemy bardzo podobnie jak na wyrażeniach algebraicznych.
Przykład 1.
Dodawaj liczby zespolone 3+5i oraz 7+11i.
Rozwiązanie:
Grupujemy wyrazy i dodajemy:
3+5i+7+11i=3+7+5i+11i=10+16i
Spostrzeżenie:
Powyższy rachunek wykonaliśmy analogicznie jak przy sumowaniu wyrażeń algebraicznych: 3+5x oraz 7+11x:
3+5x+7+11x=3+7+5x+11x=10+16x
Przykład 2.
Uprość wyrażenie 10−7i−5+4i.
Rozwiązanie:
Grupujemy wyrazy i wykonujemy następujący rachunek:
10−7i−5+4i=10−5−7i+4i=5−3i
W działaniach na liczbach zespolonych często wykorzystujemy fakt:
i2=−1
Przykład 3.
Wykonaj mnożenie liczb zespolonych (5+2i)⋅(3−7i).
Rozwiązanie:
Mnożymy nawiasy metodą "wyraz za wyrazem":
(5+2i)⋅(3−7i)=5⋅3−5⋅7i+2i⋅3−2i⋅7i==15−35i+6i−14i2==15−29i−14⋅(−1)==15−29i+14==29−29i
Spostrzeżenie:
Powyższy rachunek byłby bardzo podobny dla analogicznych wyrażeń algebraicznych:
(5+2x)⋅(3−7x)=5⋅3−5⋅7x+2x⋅3−2x⋅7x==15−35x+6x−14x2==15−29x−14x2
Zauważmy, że działając na liczbach zespolonych mogliśmy bardziej uprościć wynik, korzystając z faktu: i2=−1.
Przykład 4.
Przykłady upraszczania wysokich potęg liczby urojonej i:
a)
i^3=i2⋅i=−1⋅i=−i
b)
i^4=(i2)2=(−1)@2=1
c)
i^14=(i2)7=(−1)^7=−1
d)
i^21=(i^2)^10⋅i1=(−1)^10⋅i=1⋅i=i
e)
i^100=(i^4)25=j^4*25^1=2^25=1
Powyższe przykłady obliczania potęg postaci in można podsumować następującym twierdzeniem.
Twierdzenie
Niech n będzie liczbą naturalną. Wówczas:

in=i jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 1.
in=−1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 2.
in=−i, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 3.
in=1, jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 0.

Fakt
Każde działanie na liczbach zespolonych można uprościć do liczby zespolonej postaci a+bi, gdzie a,b∈R.
Zadanie 1.
Oblicz:
a)
(i2+i4+i6)⋅i9=
b)
i100−i150+i155=
c)
i1+12+14+...+12n+...=
Film
Nauka
Zadanie 2.
Oblicz:
a)
(5+2i)+(3−9i)=
b)
(i−3)−(2−5i)=
c)
(i2–√−1)⋅(3i+2)=

Zadanie 3.
Oblicz:
a)
i7+i9i8=
b)
2−7i3i=
c)
2+3i1−5i=

Liczby sprzężone

Definicja
Przyjmijmy, że mamy daną liczbę zespoloną z=a+bi.
Wówczas liczbę a−bi nazywamy liczbą sprzężoną do z i oznaczamy symbolem z¯.
Czyli:
z¯=a−bi
Przykład 1.

jeżeli z=2+7i, to z¯=2−7i
jeżeli z=3–√−i, to z¯=3–√+i
jeżeli z=2i, to z¯=−2i
jeżeli z=5i+1, to z¯=1−5i

Dla liczb sprzężonych zachodzą następujące fakty.
Własności liczb sprzężonych
Dla dowolnych z,z1,z2∈C mamy:

z+z¯¯¯=2Re(z)
z1+z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯+z2¯¯¯¯¯
z⋅z¯¯¯=|z|^2

W trzecim podpunkcie pojawił się nowy symbol |z|, który oznacza moduł liczby z.
Moduł liczby zespolonej z=a+bi liczymy ze wzoru:
|z|=a^2+b^2

=

Moduł liczby zespolonej

Definicja
Przyjmijmy, że mamy daną liczbę zespoloną z=a+bi.
Wówczas liczbę √(a^2+b^2) nazywamy modułem liczby z i oznaczamy symbolem |z|. Czyli:
|z|=√(a^2+b^2)
Przykład 1.
Oblicz moduł liczby zespolonej z=3+4i.
Rozwiązanie:
|z|=pierwiastek.kw(3^2+4^2)=pierwiastek.kw(9+16)=pierwiastek.kw.(25)=5
Przykład 2.
Oblicz moduł liczby zespolonej z=2+5i.
Rozwiązanie:
|z|=pierwiastek/kw(2^2+5^2)=pierwiastek/kw(4+25=pierwiastek.kw(29)
Przykład 3.
Oblicz moduł liczby zespolonej z=1−3i.
Rozwiązanie:
|z|=pierwiastek.kw(1^2+(−3)^2)=pierwiastek.kw(1+9)=

p=pierwiastek.kw(10) - gdzie pierwiastek.kw=√
Przykład 4.
Oblicz moduł liczby zespolonej z=10i.
Rozwiązanie:
Dla tej liczby zespolonej cześć rzeczywista jest równa 0, zatem zapiszemy:
|z|=√(0^2+(10)^2=√100=10
Przykład 5.
Oblicz moduł liczby zespolonej z=2i2−3i+1.
Rozwiązanie:
Najpierw musimy uprościć liczbę zespoloną:
z=2i2−3i+1==2⋅(−1)−3i+1==−2−3i+1==−1−3i=
Teraz możemy obliczyć moduł:
|z|=√{(−1)^2+(−3)^2){=√(1+9)=√10
Własności modułu
Dla dowolnych z,z1,z2∈C mamy:

z⋅z¯¯¯=|z|^2
|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|
|z1+z2|≤|z1|+|z2|

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej {PATRZ:Interpretacja geometryczna liczby zespolonej}

W rozdziale Definicja powiedzieliśmy, że każdej liczbie zespolonej z=a+bi odpowiada uporządkowana para liczb (a,b).
Przykład 1.
Przykłady zapisania liczby zespolonej na dwa różne sposoby.
Liczba zespolona zapisana w postaci ogólnej Liczba zespolona zapisana jako punkt
a+bi (a,b)
2+5i (2,5)
5+2i (5,2)
7−i (7,−1)
−8−2i (−8,−2)
i (0,1)
1 (1,0)
0 (0,0)
Możemy interpretować liczby zespolone jako punkty na płaszczyźnie.
Na osi x-ów będziemy zaznaczać część rzeczywistą liczby zespolonej, a na osi y-ów część urojoną.
Oto przykłady kilku konkretnych liczb zespolonych zaznaczonych w układzie współrzędnych:
W powyższym układzie współrzędnych zaznaczyłem również liczby sprzężone do z1, z2 oraz z4. Zauważ, że są one po prostu odbiciami symetrycznymi względem osi x-ów.
Zaznaczymy teraz jeden ogólny punkt na płaszczyźnie zespolonej i określimy dla niego kilka własności.
Odległość liczby zespolonej z=a+bi od początku układu współrzędnych, z twierdzenia Pitagorasa, wyraża się wzorem: Czyli jest to po prostu moduł tej liczby z.
Kąt między osią Re, a półprostą wychodzącą z początku układu współrzędnych i przechodzącą przez punkt z oznaczamy najczęściej literką φ (czytamy: fi).
Miarę zaznaczonego kąta φ będziemy zazwyczaj wyrażać w radianach (a nie w stopniach). Możemy zatem napisać, że φ∈R.
Liczbę φ nazywamy argumentem liczby z i oznaczamy argz.
Dla liczby z którą zaznaczyliśmy w powyższym układzie współrzędnych mamy:
argz=φ
Korzystając wprost z definicji funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego narysowanego w powyższym układzie współrzędnych, otrzymujemy: Wzory po prawej stronie otrzymaliśmy z tych po lewej, po prostu podstawiając do nich wzór na moduł. Dla wygody dalej będziemy posługiwali się głównie tymi wzorami po lewej (bo są krótsze w zapisie). Bezpośrednio z nich otrzymujemy, że:

:
Możemy zatem zapisać, że:

:

Wzór który otrzymaliśmy: to postać trygonometryczna liczby zespolonej z=a+bi.
Wiemy już, że możemy przedstawić jedną liczbę zespoloną na trzy różne sposoby:

w postaci ogólnej z=a+bi,
jako punkt (a,b) na płaszczyźnie,
w postaci trygonometrycznej z=|z|(cosφ+isinφ).

Każda z nich ma swoje plusy i minusy. Zaletą postaci trygonometrycznej jest to, że umożliwia w łatwy sposób podnoszenie liczb zespolonych do dużych potęg. Więcej na ten temat powiemy w rozdziale Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych.
Przykład 2.
Dla liczby zespolonejz=3–√+i wyznacz moduł, argument oraz postać trygonometryczną.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od zaznaczenia liczby z w układzie współrzędnych: Obliczamy moduł z twierdzenia Pitagorasa: Teraz obliczamy argument, np. korzystając z definicji sinusa: Zatem:

: Możemy nawet zapisać, że:

: Teraz zapisujemy postać trygonometryczną, podstawiając do wzoru wyliczone przed chwilą wartości: Możemy jeszcze sprawdzić, że obliczając wartości liczbowe funkcji trygonometrycznych w powyższym wzorze, otrzymamy wyjściową postać ogólną:

Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych {PATRZ:Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych

Liczby zespolone z,w∈C, z argumentami odpowiednio kontów:

>z=IzI(cosa+j*sina)

>w=IwI(cosb+jsinb)

Obliczymy teraz iloczyn tych liczb zapisanych w postaci trygonometrycznej:

z*w=IzI(cosa+sina)*IwI(cosb+jsinb)=IzI*IwI(cos(a+b)+j(sin(a+b))

(Ostatnia równość wynika ze wzorów trygonometrycznych na cosinus sumy kątów oraz na sinus sumy kątów.
Powyższy rachunek pokazuje, że przy mnożeniu dwóch liczb zespolonych z,w∈C otrzymujemy liczbę zespoloną, której:

moduł jest iloczynem modułów liczb z oraz w,
argument jest sumą argumentów liczb z oraz w.

Wynika stąd następujący wzór:

(IzI*(cosa+jsina))^n=(IzI^n*(cosna+jsinna)):

Wzór de Moivre'a
Dla dowolnej liczby z∈C zachodzi następujący wzór:
Przy pomocy tego wzoru można szybko podnosić liczby zespolone do dowolnie dużych potęg.
Przykład 1.
Dana jest liczba z=1−i. Oblicz z^100.
Rozwiązanie:
Zacznijmy od zapisania liczby zespolonej z=1−i w postaci trygonometrycznej.

Obliczamy moduł:

|z|=√(1^2+(−1)^2)=√2

Obliczamy argument: Kąt φ leży w IV ćwiartce układu współrzędnych, zatem:

sina=b/IzI=-1/√2=-√2/2:

Argument można było również odczytać z układu współrzędnych. Widać, że φ=3⋅90∘+45∘=315∘.

Zapiszmy teraz liczbę z=1−i w postaci trygonometrycznej: Korzystając ze wzoru de Moivre'a liczymy, że:

z=IzI*(cosφ+isinφ)=√2*(cos7*Pi/4+isin7Pi/4)

z^100=IzI^100(cos(100φ)+isin(100φ))=(√2)^100*(cos100*7Pi/4+isin(100*Pi/4))=

=2^50(cos175Pi+isin175Pi)=2^50*(cosPi+isinPi)=2^50(-1 + i*0)=-2^50

:

Przykład 2.
Dana jest liczba z=−1+√3i. Oblicz z^67.
Rozwiązanie:
Zaznaczamy liczbę z=−1+√3i w układzie współrzędnych: Teraz obliczamy moduł:
|z|=√((−1)^2+ (√3)^2)= √4 = 2
Obliczamy argument: Kąt φ leży w II ćwiartce układu współrzędnych, zatem:
Argument można było również odczytać z układu współrzędnych. Widać, że φ=90∘+30∘=120∘.
Zapiszmy teraz liczbę z=−1+3–√i w postaci trygonometrycznej: Stosując wzór de Moivre'a obliczamy, że

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Gdy pierwiastkujemy liczby zespolone, to możemy otrzymać kilka różnych wyników.
Na przykład pierwiastkiem 4 stopnia z liczby 1 są liczby: 1, -1, i oraz -i, ponieważ:

(1)^4=1 ;

(-1)^4=1 ;

(i)^4=1 ;

(-i)^4=1;

Zatem wyciągając pierwiastek 4 stopnia z liczby rzeczywistej 1, mamy w liczbach zespolonych aż 4 rozwiązania!
Generalnie gdy wyciągamy pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej, to zawsze otrzymujemy n rozwiązań. O tym jak obliczyć te rozwiązania mówi następujące twierdzenie:
Twierdzenie
Niech z = |z|(cosφ + i sinφ) będzie liczbą zespoloną różną od zera.
Wówczas pierwiastkami stopnia n z liczby z są liczby:

^n√IzI*(cos(φ+2kPi)/n+isin(φ+2kPi/n)) dla k=0,1,2...,n-1:

:

:

******************************************************************************************************************************************************

*******************************************************************************************************************************************************

Równania i nierówności
◀ Równania w zadaniach z treścią
Nierówności liniowe ▶
Równanie oznaczone, tożsamościowe i sprzeczne
Drukuj
Poziom podstawowy
Definicja
Równanie nazywamy:

oznaczonym - jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie,
tożsamościowym (nieoznaczonym) - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań,
sprzecznym - jeżeli nie ma rozwiązań.

Przykład 1.
Rozwiąż równianie:
3x+1=−3x−2
i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne.
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie:
3x+13x+3x6xx=−3x−2=−2−1=−3=−12
Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x=−12, zatem jest to równanie oznaczone.
Przykład 2.
Rozwiąż równianie:
2⋅(5x−3)+3=3⋅(2x−1)+4x
i określ czy jest oznaczone, nieoznaczone czy sprzeczne.
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie:
2⋅(5x−3)+310x−6+310x−3=3⋅(2x−1)+4x=6x−3+4x=10x−3
Lewa strona równania jest równa prawej, zatem mamy równanie nieoznaczone (tożsamościowe).
Równie tego typu ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ dowolna liczba podstawiona pod x da równanie prawdziwe.
Przykładowo dla x=7 mamy:
10⋅7−370−367=10⋅7−3=70−3=67
Tak samo np dla x=2 mamy:
10⋅2−320−317=10⋅7−3=20−3=17
Równanie tożsamościowe zawsze można doprowadzić do postaci 0=0. W tym przykładzie również:
10x−310x0=10x−3=10x=0
Równanie tożsamościowe jest spełnione dla x∈R.
Przykład 3.
Rozwiąż równanie x−2–√+1=1−2–√+x.
Rozwiązanie:
x−2–√+1x−x0=1−2–√+x=1−2–√+2–√−1=0
Otrzymaliśmy równanie 0=0, które jest spełnione dla dowolnej liczby rzeczywistej x.
Zatem równanie jest tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R.
Przykład 4.
Rozwiąż równanie 18−−√⋅x+5=3(x2–√+4)−7.
Rozwiązanie:
9⋅2−−−√⋅x+532–√⋅x+532–√⋅x−32–√⋅x0=3(x2–√+4)−7=32–√⋅x+12−7=5−5=0
Otrzymaliśmy równanie 0=0, które jest tożsamościowe i ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Rozwiązaniem równania jest x∈R.
Przykład 5.
Rozwiąż równianie:
7x−2=7x+3
i określ czy jest oznaczone, tożsamościowe czy sprzeczne.
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie:
7x−27x−7x0=7x+3=3+2=5
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne.
Przykład 6.
Równanie:
x2=4
nie jest ani oznaczone, ani tożsamościowe, ani sprzeczne, ponieważ ma dwa rozwiązania:
x=−2∨x=2
Przykład 7.
Równanie:
x2=−4
jest sprzeczne, ponieważ nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do drugiej potęgi da liczbę ujemną. 

******************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************

*******************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************

POTĘGOWANIE

Potęgowanie - wprowadzenie

Potęgi zapisujemy tak:
Definicja
Potęga liczby a o wykładniku naturalnym n, to:
a^n=a⋅a⋅a⋅...⋅a n razy
Przykład 1.
Oto przykłady stosowania definicji i zamieniania potęg na iloczyny:

5^3=5⋅5⋅5
5^7=5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5
2^4=2⋅2⋅2⋅2
3^2=3⋅3
3^10=3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3
3^11=3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3
3^12=3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3
x^3=x⋅x⋅x
x^4=x⋅x⋅x⋅x
(5x)^4=(5x)⋅(5x)⋅(5x)⋅(5x)
(5x)^6=(5x)⋅(5x)⋅(5x)⋅(5x)⋅(5x)⋅(5x)
(5x−2)^2=(5x−2)⋅(5x−2)

Za pomocą potęg możemy w prosty sposób zapisywać długie iloczyny takich samych liczb (co widać na powyższych przykładach).

*********************************************************** Ciągi *********************************************************************************:

*******************************************************************************************************************************************************

********************************************************************************************************************************************************

Ciąg arytmetyczny

Definicja
Ciąg arytmetyczny (an) - to taki ciąg liczbowy, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o ustaloną wartość r, czyli dla dowolnego n∈N+ zachodzi:
an+1=an+r
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Przykład 1.
Przykłady ciągów arytmetycznych:
a)
3,7,11,15,... - ciąg arytmetyczny o różnicy r=4, czyli każdy kolejny wyraz jest o 4 większy od poprzedniego.
b)
12,−12,−32,−52,... - ciąg arytmetyczny o różnicy r=−1, czyli każdy kolejny wyraz jest o 1 mniejszy od poprzedniego.
c)
7,7,7,7,... - ciąg stały o różnicy r=0.
Najważniejsze wzory
Dla ciągu arytmetycznego (an) zachodzą następujące wzory:
Wzór na n-ty wyraz:
an=a1+(n−1)⋅r
lub
an=ak+(n−k)⋅r
Jeśli liczby a,b,c w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, to zachodzi wzór:
b=a+c2
Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu:
Sn=a1+an2⋅n
Wzór na n-ty wyraz, wykorzystujący sumę:
an=Sn−Sn−1
Przykład 2.
Dla ciągu arytmetycznego an=3n wypisz kilka początkowych wyrazów i oblicz różnicę ciągu arytmetycznego oraz wyraz a100.
Rozwiązanie:
Wypisujemy początkowe wyrazy:
3,6,9,12,...
Różnica ciągu arytmetycznego to:
r=a2−a1=6−3=3
Teraz obliczamy wyraz setny:
a100=3⋅100=300
Przykład 3.
Podaj różnicę ciągu arytmetycznego 34,14,−14,... i wypisz dwa jego kolejne wyrazy. Określ monotoniczność tego ciągu.
Rozwiązanie:
Obliczamy różnicę ciągu arytmetycznego:
r=a2−a1=14−34=−12
Teraz możemy obliczyć dwa kolejne wyrazy:
a4=a3+r=−14+(−12)=−34
a5=a4+r=−34+(−12)=−54
Różnica ciągu arytmetycznego jest ujemna, więc ciąg jest malejący.
Przykład 4.
Oblicz trzynasty wyraz ciągu arytmetycznego (an), jeśli a1=5 oraz r=3.
Rozwiązanie:
a1=5a2=5+3=8a3=5+2⋅3=11a4=5+3⋅3=14⋮a13=5+12⋅3=41
Aby otrzymać wyraz a13 ciągu arytmetycznego, skorzystaliśmy ze zależności: a13=a1+(13−1)r. Jest to wzór ogólny ciągu arytmetycznego.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego (an) ma postać:
an=a1+(n−1)⋅r
gdzie:
a1 - to pierwszy wyraz ciągu,
r - różnica ciągu
Przykład 5.
Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego 5,7,9,11,.... Oblicz 50-ty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie:
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a1=5 i różnicy:
r=a2−a1=7−5=2
Zatem wzór ogólny ma postać:
an=a1+(n−1)⋅r=5+(n−1)⋅2=5+2n−2=2n+3
Teraz możemy obliczyć 50-ty wyraz tego ciągu:
a50=2⋅50+3=103
Przykład 6.
Podaj wzór ogólny ciągu arytmetycznego 15,1,−13,.... Oblicz 15-ty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie:
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a1=15 i różnicy:
r=a2−a1=1−15=−14
Zatem wzór ogólny ma postać:
an=a1+(n−1)⋅r=15+(n−1)⋅(−14)=15−14n+14=−14n+29
Teraz możemy obliczyć 15-ty wyraz tego ciągu:
a15=−14⋅15+29=−181
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Ciąg arytmetyczny (an) o różnicy r jest:

rosnący, gdy r>0,
malejący, gdy r<0,
stały, gdy r=0.

Przykład 7.
Zbadaj monotoniczność ciągu arytmetycznego an=−4n+1.
Rozwiązanie:
Obliczamy dwa dowolne, kolejne wyrazy ciągu (an), np:
a1=−4⋅1+1=−3
a2=−4⋅2+1=−7
Teraz obliczamy różnicę:
r=a2−a1=−7−(−3)=−4
Różnica wyszła ujemna, zatem ciąg (an) jest malejący.
Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne liczy a,b,c tworzą ciąg arytmetyczny, to środkowa liczba jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
b=a+c2
Dowód:
Skoro liczy a,b,c tworzą ciąg arytmetyczny, to możemy obliczyć różnicę tego ciągu na dwa sposoby:
r=b−aorazr=c−b
Zatem mamy:
b−a2bb=c−b=a+c=a+c2
Co należało udowodnić.
Przykład 8.
Oblicz x jeżeli liczby 3,x,14 tworzą ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie:
Skoro liczby tworzą ciąg arytmetyczny, to środkowa liczba jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
x=3+142=172
Przykład 9.
Oblicz x jeżeli liczby 9,−2x+1,−1 tworzą ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie:
Liczby tworzą ciąg arytmetyczny, więc środkowa z nich jest średnią arytmetyczną liczb sąsiednich:
−2x+1−2x+1−2xx=9+(−1)2=4=3=−32

Zadanie 1.
Czy podany ciąg jest arytmetyczny?
a)
3,6,9,12,15
b)
−2,2,6,10
c)
−5,−3,3,5
d)
17,17,17,17

Zadanie 2.
Czy ciąg o podanym wyrazie ogólnym jest arytmetyczny? Jeśli tak, to oblicz a1 i różnicę tego ciągu
a)
an=−5+n
b)
an=7n+3
c)
an=2−(1−3n)
d)
an=n2−1
e)
an=3n−12
f)
an=12n

Zadanie 3.
Podane liczby, to dwa początkowe wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego, znajdź różnicę oraz dwa następne wyrazy tego ciągu.
a)
14,18
b)
1,21
c)
0,3,0,2

Zadanie 4.
Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a2=4 oraz a3=9.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu (an) jest równy
A.24
B.29
C.36
D.69

Zadanie 5.
W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, a5=−31 oraz a10=−66. Różnica tego ciągu jest równa
A.(−7)
B.(−19,4)
C.7
D.19,4

Ciąg geometryczny
Drukuj
Poziom podstawowy
Definicja
Ciąg geometryczny (an) - to taki ciąg liczbowy, w którym każda kolejna liczba powstaje przez pomnożenie poprzedniej liczby przez q. Czyli dla dowolnego n∈N+ zachodzi:
an+1=an⋅q
Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Przykład 1.
Przykłady ciągów geometrycznych:
a)
3,6,12,24,... - ciąg geometryczny rosnący o ilorazie q=2.
b)
12,−32,92,−272,... - ciąg geometryczny o ilorazie q=−3.
c)
10,2,25,225,... - ciąg geometryczny malejący o ilorazie q=15.
d)
5,5,5,5,... - ciąg geometryczny stały o ilorazie q=1.
Najważniejsze wzory
Niech będzie dany ciąg geometryczny (an). Wtedy zachodzą następujące wzory:
Wzór na n-ty wyraz:
an=a1⋅qn−1
lub
an=ak⋅qn−k
Jeśli liczby a,b,c w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi wzór:
b2=a⋅c
Wzór na sumę n wyrazów ciągu:
Sn=⎧⎩⎨a1⋅1−qn1−qdla q≠1a1⋅n dla q=1
Przykład 2.
Dla ciągu geometrycznego an=5⋅2n wypisz kilka początkowych wyrazów i oblicz iloraz ciągu geometrycznego oraz wyraz a10.
Rozwiązanie:
Wypisujemy początkowe wyrazy:
10,20,40,...
Iloraz ciągu geometrycznego to:
q=a2a1=2010=2
Teraz obliczamy wyraz dziesiąty:
a10=5⋅210=5120
Przykład 3.
Podaj iloraz ciągu geometrycznego 34,14,112,... i wypisz dwa jego kolejne wyrazy. Określ monotoniczność tego ciągu.
Rozwiązanie:
Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
q=a2a1=3414=13
Teraz możemy obliczyć dwa kolejne wyrazy:
a4=a3⋅q=112⋅13=136
a5=a4⋅q=136⋅13=1108
Iloraz q ciągu jest liczbą z przedziału (0,1). W takiej sytuacji ciąg geometryczny jest malejący.
Przykład 4.
Oblicz dziesiąty wyraz ciągu geometrycznego (an), jeśli a1=5 oraz q=−2.
Rozwiązanie:
a1=5a2=5⋅(−2)=−10a3=5⋅(−2)2=−20a4=5⋅(−2)3=40⋮a10=5⋅(−2)9=−2560
Aby otrzymać wyraz a10 ciągu geometrycznego, skorzystaliśmy ze zależności: a10=a1⋅q10−1 (jest to wzór ogólny ciągu geometrycznego).
Wzór ogólny ciągu geometrycznego (an) ma postać:
an=a1⋅qn−1
gdzie:
a1 - to pierwszy wyraz ciągu,
q - iloraz ciągu
Przykład 5.
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego 4,2,1,.... Oblicz 5-ty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie:
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a1=4 i ilorazie:
q=a2a1=24=12
Zatem wzór ogólny ma postać:
an=a1⋅qn−1=4⋅(12)n−1
Teraz możemy obliczyć 5-ty wyraz tego ciągu:
a5=4⋅(12)5−1=14
Przykład 6.
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego 5,−15,45,.... Oblicz 6-ty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie:
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a1=5 i ilorazie:
q=a2a1=−155=−3
Zatem wzór ogólny ma postać:
an=a1⋅qn−1=5⋅(−3)n−1
Teraz możemy obliczyć 6-ty wyraz tego ciągu:
a6=5⋅(−3)6−1=−5⋅35
Monotoniczność ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny (an) o ilorazie q jest:

rosnący, gdy q>1,
malejący, gdy q∈(0,1),
stały, gdy q=1.

Przykład 7.
Zbadaj monotoniczność ciągu geometrycznego an=3n.
Rozwiązanie:
Obliczamy dwa dowolne, kolejne wyrazy ciągu (an), np:
a1=31=3
a2=32=9
Teraz obliczamy iloraz:
q=a2a1=3
Iloraz jest większy od 1, zatem ciąg (an) jest rosnący.
Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne liczy a,b,c tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi:
b2=a⋅c
Przykład 8.
Oblicz x jeżeli liczby 3,x,5 tworzą ciąg geometryczny.
Rozwiązanie:
Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi:
x2=3⋅5x2=15x=15−−√∨x=−15−−√
Przykład 9.
Oblicz x jeżeli liczby x,x+1,x+3 tworzą ciąg geometryczny.
Rozwiązanie:
Liczby tworzą ciąg geometryczny, zatem:
(x+1)2x2+2x+1x=x⋅(x+3)=x2+3x=1
Lekcja 1. Ciąg geometryczny

Zadanie 1.
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego
a)
6, 12, 24,...
b)
8, −4, 2,...
c)
25, 12, 58,...
d)
22, 2,2, 0,22,...

Zadanie 2.
Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego a1, wiedząc, że:
a)
q=5, a7=125;
b)
q=12, a13=18192;
c)
q=−23, a6=3227;
d)
q=3, a8=10935;

Zadanie 3.
Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego q, wiedząc, że:
a)
a1=6,a5=227;
b)
a1=−1,a10=−512;
c)
a1=100,a5=65,61;
d)
a1=0,5,a6=512;

******************************************************************************************************************************************************

**********************************************************************************************************************************************************